Question

∫√1+y2-x2 dx

1+y²-x² 开根号关于x的积分

Answer 1

∫ √[(1+y²)-x²] dx,把y视作常数
令x=√(1+y²)*sinu
dx=√(1+y²)*cosu du
√[(1+y²)-x²]=√[(1+y²)-(1+y²)sin²u]=√(1+y²)*cosu
得出cosu=√[(1+y²)-x²]/√(1+y²)
还有sinu=√(1-cos²u)=x/√(1+y²)
原式=(1+y²)*∫cos²u du
=(1+y²)/2*∫(1+cos2u) du
=(1+y²)/2*(u+1/2*sin2u)+C
=(1/2)(1+y²)*{arcsin[x/√(1+y²)]*x√(1+y²-x²)/(1+y²)]}+C

追问

为什么要这么设x呢？介绍一下解这种题的方法行吗？

追答

这是第二类积分换元法：
对于这样类型的函数：√(a²-x²),1/√(a²-x²),1/(a²-x²)等函数都可以用换元x=asinθ或x=acosθ
这样有好处，就是可以根据恒等式sin²θ+cos²θ=1来化简
所以√(a²-x²)=√[a²-(asinθ)²]=√(a²-a²sin²θ)=√[a²(1-sin²θ)]=√(a²cos²θ)=acosθ
用这个方法就会好做，通常都设x=asinθ而不是x=cosθ，可以避免有负号，例如dx=d(asinθ)=acosθdθ但dx=d(acosθ)=a(-sinθ)dθ=-asinθdθ
所以对于这个题目，先将√(1+y²-x²)化为√(a²-x²)形式，也即√[(1+y²)-x²],即a=1+y²
其实更严谨的做法应该要考虑θ的范围(-π/2)0,所以√(a²cos²θ)=acosθ而不是-acosθ。
其他类型也可以用这个方法
对于√(a²+x²),设x=atanθ
对于√(x²-a²),设x=asecθ

修正答案:
=(1+y²)/2*{arcsin[x/√(1+y²)]+x√(1+y²-x²)/(1+y²)}+C,中间那个是+号