Question

△ABC中，D是BC延长线上一点，∠ABC、∠ACD的角平分线BE、CE交于点E.求证：∠E=1/2

△ABC中，D是BC延长线上一点，∠ABC、∠ACD的角平分线BE、CE交于点E.求证：∠E=1/2∠A

Answer 1

∠ACD=∠A+∠ABC,
1/2∠ACD=∠ECD=∠EBC+∠E=1/2∠ABC+∠E
由上述两式得∠A=∠ACD-∠ABC, ∠E=1/2∠ACD-1/2∠ABC
两式相除得∠A/∠E=2，
故∠E=1/2∠A

Answer 2

设AC与BE相交与F，利用三角形外角等于不相邻两内角之和，在三角形ABF和EFC中，∠
BFC=∠A+∠ABE=∠E+∠ACE，等式1，在∠ABC中，∠A+∠ABC=∠ACD，等式2，∠ACD=2∠ACE等式3，利用这些等式消去其余的量，可得到∠A与∠E 的关系，你自己在计算

Answer 3

内角之和，在三角形ABF和EFC中，∠
BFC=∠A+∠ABE=∠E+∠ACE，等式1，在∠ABC中，∠A+∠ABC=∠ACD，等式2，∠ACD=2∠ACE等式3，利用这些等式消去其余的量，可得到∠A与∠E 的关系，你自己在计算

Answer 4

首先，过点A作∠BAC的角平分线交线段BC与点G。
因为∠ACE=∠ECD，所以∠ACD=2∠ECD
又因为∠BAG=∠GAC，∠ABE=∠EBD，
所以∠AGC=∠BAG+∠ABC=∠GAC+2∠EBD
所以∠ACD=∠GAC+∠AGC=∠GAC+∠GAC+2∠EBD=2∠ECD
所以∠ECD=∠GAC+∠EBD
又由于∠ECD=∠E+∠EBD
所以∠E=∠GAC=1/2∠BAC