Question

已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形三边AB，AC，BC的距离分别为h1,h2,h3，三角形的高为h。若点P在三角

已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形三边AB，AC，BC的距离分别为h1,h2,h3，三角形的高为h。若点P在三角形ABC内，h1,h2,h3之间有怎样的等量关系？若点P在三角形ABC外，h1，h2，h3又有怎样的关系呢？

Answer 1

1. P在三角形内
把三角形分成△PAB △PAC △PBC三个小三角形
设三角形变长为a
则面积S=ah/2=(ah1+ah2+ah3)/2 (三个小三角形面积之和)
故h1+h2+h3=h

2. P在三角形外
①P与A分居BC两侧
画图可知 △PAB+△PAC-△PBC=△ABC (面积相加减)
即(ah1+ah2-ah3)/2=ah/2
故：h1+h2-h3=h
同理 ②P与B分居AC两侧
h1+h3-h2=h
③P与C分居AB两侧
h2+h3-h1=h

Answer 2

如果P在三角形内部则有h1+h2+h3=h

Answer 3

连结AP BP CP
SABC=SABP+SBCP+SACP
=1/2(H1*AB+H2*AC+H3*BC)
因为AB=AC=BC
所以SABC=1/2(H1+H2+H3)BC

又因为SABC=1/2*H*BC
所以H1+H2+H3=H

(3)连结AP BP CP
SABC=SABP+SACP-SBCP
=1/2(H1*AB+H2*AC-H3*BC)
=1/2(H1+H2-H3)BC
又因为SABC=1/2*H*BC
所以H1+H2-H3=H

Answer 4

解：（1）h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；

Answer 5

h=h1+h2+h3。