Question

关于三角函数的证明题

若∠1+∠2=90°，且∠1为锐角，求证tan∠1+tan∠2≥2

Answer 1

【1】∵x+y=90º,且0＜x＜90º,∴0＜y＜90º,且y=90º-x.∴tany=tan(90º-x)=cotx=1/tanx.显然，tanx＞0且tany=1/tanx＞0.【2】由“基本不等式”可知，tanx+tany=tanx+(1/tanx)≥2.等号仅当x=y=45º时取得。∴tanx+tany≥2

Answer 2

∠2=90-∠1
所以tan∠2=tan(90-∠1)=cot∠1=1/tan∠1

锐角则tan∠1>0
所以tan∠1+tan∠2=tan∠1+1/tan∠1≥2√(tan∠1*1/tan∠1)=2
所以tan∠1+tan∠2≥2

追问

tan∠1+1/tan∠1≥2√(tan∠1*1/tan∠1)
为什么

Answer 3

tan∠1+tan∠2=tan∠1+tan(90-∠1)=tan∠1+cot∠1=tan∠1+1/tan∠1
因∠1为锐角，0<tan∠1 0<1/tan∠1
tan∠1+1/tan∠1≥2
所以tan∠1+tan∠2≥2

追问

tan∠1+1/tan∠1≥2√(tan∠1*1/tan∠1)
为什么

Answer 4

已知α为第三象限角，化简cosα乘根号下（1-sinα）/（1+sinα）+sinα乘根号下（1-cosα）/（1+cosα），请证明（1+cosα+sinα）/（1+cosα-sinα）=（1+sinα）/cosα

1、证明：(1+cosa+sina)/(1+cosa-sina)=(1+sina)/cosa
<==>cosa+cos²a+sinacosa=1+cosa-sina+sina+sinacosa-sin²a
<==>cos²a+sin²a=1恒成立
以上各步可逆，证毕。
2、原式=cosa[√(1-sina)(1+sina)]/(1+sina)+sina[√(1-cosa)(1+cosa)]/(1+cosa)
=(cosa√cos²a)/(1+sina)+(sina√sin²a)/(1+cosa)
a为第三象限角，sina<0,cosa<0
原式=-cos²a/(1+sina)-sin²a/(1+cosa)
=(sin²a-1)/(1+sina)-(1-cos²a)/(1+cosa)
=(sina+1)(sina-1)/(1+sina)-(1+cosa)(1-cosa)/(1+cosa)
=sina-1-1+cosa
=√2sin(a+π/4)-2