Question

第六题 求过程，为什么不可以用罗尔定理？？我总是把它和罗尔定理弄混...

Answer 1

这个题目当然不是用罗尔定理。
罗尔定理：
如果函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在(a,b)内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
这道题第一、没要求求f'（ξ）=0；第二、f（1/2）≠f（1）。当然不满足罗尔定理的要求。其结果也不是罗尔定理能解决的。
这道题需要用的是介值定理。
介值定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间端点处取值不同时，即：f(a)=A,f(b)=B,且A≠B 。那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在闭区间[a,b]内至少有一点ξ，使得 f(ξ)=C 。
所以设f（x）=x^n+x^(n-1)+……+x，那么只要证明f（1/2）和f（1）中，一个大于1，一个小于1，就能证明f（x）=1在（1/2，1）内有解了。
而这等于是个等比数列求和，很容易证明f（1/2）＜1，f（1）＞1

追问

谢谢了，罗尔也有类似的题啊，是构造他的原函数。我怎么区分用哪一种

追答

就这个题目而言，没必要去构造原函数。
一方面，这个函数是个多项式，项数比较多，原函数构造起来有点麻烦。不如函数本身简单。
第二方面，本来这道题可以直接用介值定理，就没有必要再绕弯搞原函数，然后用罗尔定理了。
罗尔定理一般不用于解这类函数本身在某个区间有解的题。
罗尔定理一般用于解导数在某个区间都零解的题。

Answer 2

要用罗尔定理就要构造一个原函数，而用零点定理直接构造所给函数即可

追问

对啊，我知道 可是怎么知道要用哪一种呢

考试时，这两种有同样的题

Answer 3

fn(x)=1
fn(x)=x+x^2+……+x^n
令g_n（x）=f -1
求导容易知道g在（0,+inf）上单调递增,然而

g_n（1/2）=-1/2^n 0 （n>1）

根据g的连续性和零点定理；g在(1/2,1)内必有一零点,根据单调性,最多一个零点,所以原结论成立.