Question

求证:函数f(x)=x+a/x(a>0)在(根号a,+00)上是增函数

求证:函数f(x)=x+（a/x） (a>0)在(根号a,+00)上是增函数

请用两种方法回答，一种是定义，一种是导数。。。谢谢各位了。。

Answer 1

题目错了，用导数的话，要是a大于0，小于1还是不能证明是增函数的。。

Answer 2

1. 定义
取d > 0
设 0 < √a < x < x + d
需证 f(x+d) > f(x)
x + d + a/(x + d) > x + a/x
d + a/(x + d) > a/x
两边同乘以 x(x+d) (>0)
dx(x + d) + ax > a(x+d)
dx² +d²x + ax > ax + ad
dx² +d²x > ad
两边同除以d (> 0)
x² +dx > a
因x > √a > 0, x² > a, 且dx > 0
所以x > √a时, x² +dx > a总成立, f(x)在(√a, +∞)上是增函数

2. f'(x) = 1 -a/x^2
x > √a > 0时
x² > a > 0
1 > a/x²
1 - a/x² > 0
f(x)在(√a, +∞)上是增函数

Answer 3

解 1 定义：
因为f(x)=x+（a/x）中 x是增函数 a/x在 (根号a,+00)上是增函数 所以其相加也是增函数

2 导数
原式两边求导
f(x)‘=1-（1/2）(a)x^(-2/3)
x=根号a带入
得 1-a^(-1)a》0
1-1 》0恒成立
所以原式是增函数

追问

谢谢。但能不能补充一下具体的过程呢。。

追答

定义就是这样的 你交上去老师会懂的 证明过程就是f(x)=（a/x） 加上条件求导

追问

导数的不能具体点？

追答

刚做错了一点 马上给你传照片

追问

.........................好了没？咱要下了...要是图片传的慢，你就发消息给我。。。