Question

一道高中数学必修5的正余弦定理证明题

在△ABC中，已知a(b·cosB-c·cosC)=(b^2-c^2)cosA，判断△ABC的形状

希望有详细的解题过程，谢谢！

Answer 1

cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc,cosB=(a^2+c^2-b^2)2ac,cosC=(a^2+b^2-c^2)2ab
代入上式，得：
(a^2+c^2-b^2)*b/2c-(a^2+b^2-c^2)*c/2b=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)/2bc
(a^2b^2+b^2c^2-b^4-a^2c^2-b^2c^2+c^4)/2bc=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)/2bc
(a^2+b^2+c^2)(b^2-c^2)/2bc=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)/2bc
当b^2-c^2≠0时，得：
a^2+b^2+c^2=b^2+c^2-a^2
∴a^2=-a^2
a=0排除
所以b^2-c^2=0，即b=c,∴△ABC是等腰三角形