Question

一道关于数学导数题（过程详细点，谢谢）

f(x)=x2／e，g（x）=2a ㏑x（e为自然对数的底数）。问是否存在常数a，使f(x)与g（x）的图像有且仅有一个公共点，且该公共点处有共同的切线？若存在，求出a值，及公共点坐标和公共切线方程。

Answer 1

f'(x)=2x/e, g'(x)=2a/x
有共同切线=> 2x/a=2a/x => x^2=ae 方程1；
f(x),g(x)有一公共点=> x^2/e=2alnx 方程2；
将方程 1 带入 2 得 x=e^1/2
=> 公共点 （e^1/2, 1)
切线方程的斜率为2x/e=2e^(-1/2)
切线方程为： y-1=2e^(-1/2) (x-e^1/2)
即： 2x-e^1/2y-e^1/2=0

Answer 2

f'(x)=2x/e,g'(x)=2a/x 令 k= 2x/e=2a/x x²=ae y=a=alnae lnae =1, ae=e, a=1
切点(根号e,1) 切线：y-1=2/根号e(x-根号e)

Answer 3

存在 a=e

解：G（x）=x2／e-2a ㏑x
然后求导得出极点 x0， 然后代入到G（x）使G（x0）=0 则可以求出a=e