Question

数学题 求取值范围

（x-a)(1-x-a)<1对任意实数恒成立 求a的值域 具体点

Answer 1

(x-a)(1-x-a) < 1
解：x-a-x2+ax-ax+a2 < 1
x-x2+a2-a < 1
a2-a < x2-x+1
由于：x2-x+1=(x-1/2)2+3/4 >= 3/4
所以：a2-a < 3/4
a2-a-3/4 < 0
(a-3/2)(a+1/2) < 0
解得：-(1/2）< a < 3/2

追问

x2-x+1=(x-1/2)2+3/4 >= 3/4
？

Answer 2

（x-a)(1-x-a)<1
把括号打开得，x-x平方-a+a平方<1
x平方-x-a平方+a+1>0
x平方-x+1/4-1/4-a平方+a+1>0, 即（x-1/2）平方-a平方+a+3/4>0
因为（x-1/2）平方>=0
所以，要使（x-1/2）平方-a平方+a+3/4>0对任意实数恒成立
就要-a平方+a+3/4>0，即4a平方-4a-3<0，即（2a-3）（2a+1）<0
-1/2<a<3/2

Answer 3

-0.5<a<1.5
上式变为（x-a)(x+a-1)>-1
x^2-x-a(a-1)>-1
x^2-x-(a^2-a-1)>0
令f(x)=x^2-x-(a^2-a-1)
对x求导数，并令其等于0，求得极小值
即 f'(x)=2x-1=0
即当x=0.5时f(x)最小，最小值为 1/4-1/2-(a^2-a-1)
因为（x-a)(1-x-a)<1对任意实数恒成立，所以1/4-1/2-(a^2-a-1)>0
整理上式得 a^2-a-3/4<0
对左边配方得（a-1/2)^2-1<0即 （a-1/2)^2<1 即 -1<a-1/2<1 所以 -1/2<a<3/2

Answer 4

化简，得
X2—X—a2+a+1>0
1--4(—a2+a+1)<0
4a2--4a--3<0
（2a+1)(2a--3)<0
--0.5<a<1.5

Answer 5

a取一切实数