Question

在边长为a的正方形的四个角上剪去大小一样的小正方形,做成无盖的长方体,什么时候体积最大?

Answer 1

设剪去小正方形的边长为x，则剪去后无盖长方体的体积为：
V=SH=(a-2x)^2*x=4x^3-4ax^2+a^2x
令V(x)=4x^3-4ax^2+a^2x，对函数求导数，得：
V(x)的导数=12x^2-8ax+a^2，
求函数V(x)的拐点，令V(x)的导数=0，则：
12x^2-8ax+a^2=(2x-a)(6x-a)=0
解得：x1=a/2；x2=a/6
当x=a/2时V=0，所以舍去，
所以当x=a/6时，长方体的体积最大。

Answer 2

设剪去的正方形边长为x
v(x)=x(a-2x)(a-2x)
v'(x)=(2x-a)*(6x-a)
v'(x)=0时v(x)有最大或最小值
x=a/2 x=a/6
v(a/2)=0最小值
v(a/6)=2a^3/27 最大值

Answer 3

解：设剪去的小正方形边长为x，那么长方体的体积
V=（a-2x）²x
∵0＜x＜1/2a
假设x的值，列表求V值。
x 0.1a 0.15a 0.2a 0.25a 0.3a 0.35a 0.4a 0.45a
V 0.064a² 0.0735a² 0.072a² 0.0625a² 0.048a² 0.056a² 0.016a² 0.0045a²
观察上表可以知道x在0.15a附近V有最大值。
再取x=0.14a 算出V=0.072576a²
x=0.16a 算出V=0.073984a²
x=0.17a 算出V=0.074052a²
x=0.18a 算出V=0.073728a²
观察可以知道x在0.17a附近V最大。
再取x=0.165a 算出V=0.0740685a²
x=0.168a 算出V=0.074070528a²
x=0.169a 算出V=0.074063236
综上所述，当x为0.168a时，体积最大。

Answer 4

设剪去的正方形边长为x,则v=4x(a-2x)(a-2x)/4,由基本不等式可知v<=(2a/3)^3/4=2a^3/27,当x=a/6时取到最大值。

追问

谢谢帮我回答!但还是有点看不懂!但我知道答案是对的!

追答

这是三元基本不等式之一abc<=((a+b+c)/3)^3,令x=a,a-2x=b=c,既得。