Question

初三几何证明题

（本小题9分）如图15所示，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，AB⊥BC，∠DCB＝75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
(1)求∠AED的度数．
(2)求证：AB＝BC．
(3)若F为线段CD上一点，∠FBC＝30°，求 DF:FC的值．
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求第三题证明，答案是1
过程要严谨清晰
我要的是第三小题证明行不？

Answer 1

(3)连接af，做fj垂直于ab
因为角fbc=30度，所以角bfc=75度，所以三角形fbc为等腰
因为bc=bf=ab，且角abf=60度，所以三角形abf为等边，所以fj等分ab，所以df=fc

Answer 2

（1）∵∠DCB＝75° 又AD‖BC
∴∠ADC=105 °
又∵△DCE 是等边三角形
即三个角都是60度
∴∠BCE=15°
∵AB⊥BC 即∠ABC=90°
∴ ∠BEC=75°
∴ ∠AED=135°

Answer 3

（1）∵∠DCB＝75° 又AD‖BC
∴∠ADC=105 °
又∵△DCE 是等边三角形
即三个角都是60度
∴∠ADE= 105 °-60°=45°
∵AB⊥BC 即∠ABC=90°=∠BAD ∴ ∠AED=90°-45°=45°
（2）过D作垂线交BC与M点
要证AB=BC 只需证FC=EB即可 显然DC=EC ∠ABC=∠DFC=90°
可容易证明∠BEC=∠DCB＝75°
所以△DFC≌△BEC 所以 FC=BE 于是就很容易证明AB=BC
（3）连AF，做FN垂直于AB与N
因为∠FBC=30°，
所以∠BFC=75°，所以△FBC为等腰三角形
因为BC=BF=AB，且∠ABF=60°
所以△ABF为等边三角形
所以FN等分AB
所以DF=FC
即 DF:FC=1:1

Answer 4

你的意思是只写第三题？
连接AF并延长交BC延长线于H点
∵∠BCF=75°
∠FBC=30°
∴∠FCB=75°
∴BF=BC
∵AB=BC
∴AB=BF
∵∠ABF=30°
∴△ABF为等边三角形
∴AF=BF
∵∠DAF=90-60=30°
AD‖BC
∴∠DAF=∠H=30°
∴∠FBC=∠H
∴BF=HF
∴AF=HF
∵在△ADF与△HCF中
∠DAF=∠H
AF=HF
∠HFC=∠DFA
∴△ADF≌△HCF(ASA)
∴DF=FC
∴DF:FC=1

Answer 5

解：（1）∵正△ABD,
正△BCF,
正△ACE
∴∠DBA=∠FBC=60°，BD=BA=AD，BC=BF=CF，AC=CE=AE
∴∠DBF=∠ABC
∴△BDF≌△BAC（SAS）
∴DF=AC=AE
同理：△FEC≌△BAC（SAS）
∴EF=BA=AD
∴四边形AEFD是平行四边形

（2）如果四边形AEFD是菱形，则：AD=AE
故：AB=AC
证明：因为AB=AC
故：AD=AB=AC=AE
根据（1）四边形AEFD是平行四边形
故：,四边形AEFD是菱形

（3）如果四边形AEFD是矩形，则：∠DAE=90°
故：∠BAC=150°
证明过程参照（1），然后求出∠DAE=90°即可

（4）如果四边形AEFD是正方形，则：AB=AC，∠BAC=150°
证明过程参照（1）、（2）、（3）