Question

高数 同济 六版 291页 例五的积分要怎么解?

Answer 1

你可以令 y＝a*tanθ
原式＝ - Gamu ∫(a²+y²)^(-3/2)dy
＝- Gamu ∫(a²tanθ²)^(-3/2) d(a*tanθ)
＝- Gamu ∫(a*secθ)^(-3) * a* sec²θ dθ
＝- Gamu ∫ a^(-2)*secθ)^(-1) dθ
＝- Gamu ∫ a^(-2)*cosθ) dθ 画个三角形 tanθ＝y/a sinθ＝y / √a²+y²
＝- Gamu a^(-2)* sinθ | 画个三角形 tanθ＝y/a sinθ＝y / √a²+y² y＝- L/2→+ L/2
＝- Gamu a^(-2)* 2 sinθ | sinθ= 0＝L/2 / √a²+(L/2)²
＝- Gamu a^(-2)* 2 [ L/2 / √a²+(L/2)² ]
＝- Gamu a^(-2)* [ L / √a²+(L/2)² ]
＝- Gamu a^(-2)* 2* L / √4a²+L²
＝- 2GmuL / a* / √4a²+L²
当然还可以令 y＝a*sht来做，或者直接：
∫(x^2±a^2)^(-3/2)dy
= ±x / [a^2×(x^2±a^2)^(1/2)]
= ±x / [a^2√(x^2±a^2)]