Question

初三数学题，二次函数，数形结合。

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2，点E是AB中点，在OA上截取一点D，将△BDA沿BD翻折，使A落在BC边上的F处

1，直接写出E,F的坐标
2，设顶点为F的抛物线交Y轴于点P，且以点EFP为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线解析式
3，在X轴Y轴上是否分别存在点M,N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长最小值，如果不存在，请说明理由

Answer 1

1、E(3,1) F(1,2) 2、设抛物线解析式为y=ax²+bx+c (a≠0) F(1,2)为顶点 故-b/2a=1，a+b+c=2 可得c=a+2，抛物线为y=ax²-2ax+a+2 令x=0 可得P（0，a+2） 由FP=FE得√1+a²=√5，解出a=±2 由PF=PE得√1+a²=√9+(a+1)²，解出a=-9/2 又PE≥3＞FE故所求抛物线解析式为y=2x²-4x+4、y=-2x²+4x、y=-9/2x²+9x-5/2 3、作F点关于Y轴的对称点R，作E点关于X轴的对称点S，连结R、S交Y轴于N，X轴于M，易得直线RS方程为y=-3/4x+5/4 令x=0、y=0可得M（5/3，0）N（0，5/4） 周长最小值为RS+EF=5+√5

Answer 2

E（3，1），F（1，2）
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c (a≠0) F(1,2)为顶点 故-b/2a=1，a+b+c=2 可得c=a+2，抛物线为y=ax²-2ax+a+2 令x=0 可得P（0，a+2） 由FP=FE得√1+a²=√5，解出a=±2 由PF=PE得√1+a²=√9+(a+1)²，解出a=-9/2 又PE≥3＞FE故所求抛物线解析式为y=2x²-4x+4、y=-2x²+4x、y=-9/2x²+9x-5/2
作F点关于Y轴的对称点R，作E点关于X轴的对称点S，连结R、S交Y轴于N，X轴于M，易得直线RS方程为y=-3/4x+5/4 令x=0、y=0可得M（5/3，0）N（0，5/4） 周长最小值为RS+EF=5+√5

Answer 3

一.E(3,1) F(1,2)
二.EF=根号5，且以点EFP为顶点的三角形是等腰三角形， F(1,2)为抛物线顶点，抛物线交Y轴于点P，所以当PF=根号5时，P(0,4),设抛物线解析式为y=a(x-1)²+2，将P(0,4)带入得a=2, 所以y=2(x-1)²+2=2x²-4x+4
三。M(1,0) N(0,1)