Question

关于基本不等式。已知a>1,b>1,2a+b=8,求ab的最大值。 我是这样做的：因为ab<=(a+b)^2/4

我是这样做的：因为ab<=(a+b)^2/4,所以令a=b,则a=b=8/3,ab<=64/9.
可是答案是ab<=8.我不知道自己哪里错了，请大家告诉我啊！写详细点啊。。。

Answer 1

你的错误在于，忽略了已知条件 a>1,b>1,2a+b=8，
如果没有这几个条件，a×b的最大值是发生在 a=b 的时候，但已知条件限定了（比原先无条件时严格了）
正确的分析是这样：
ab＝a×(8-2a) = -2a² +8a = -2×(a² - 4a) = -2×(a² - 4a+4 -4 )= -2×(a-2)² +8 = 8 - 2×(a-2)²
可见 ab最大值为8
或者ab＝(4-b/2)×b = -b²/2 +4b= -1/2×(b² -8b) = -1/2×(b² - 8b +16 -16)= -1/2×(b-4)² +8
当b＝2a＝某值时出现最大ab，这个是有条件的。
补充说明，原题目出的不是很好，并不严格

Answer 2

解：由2a+b=8，得
b=8-2a
ab=a(8-2a)
=8a-2a^2
=-2(a^2-4a+4)+8
=-2(a-2)^2+8
所以，当a=2，b=8-2a=4时，
max(ab)=8
另，你的解答的问题是令a=b，但当a=b时，ab不能取到最大值。

Answer 3

又一个解题方法：
由2a+b=8
得b=8-2a
所以ab=a（8-2a）=-2a^2+8a
又b>1
即8-2a>1,
所以a<7/2
1<a<7/2
看二次曲线，在（1,7/2）范围内，a=2时值最大，这时b=4
所以ab最大值为8

Answer 4

b为8-2a，ab为a(8-2a)，这是一个a的一元二次方程，开口朝下的抛物线，对称轴a为2时最大，把2代入，即最大值为8。先从条件入手，你公式代入本身就错误，那些基本公式是在a.b取任意值是用的，就是说a.b没有条件限制，这里的a.b是成线性关系的，公式的概念没搞清，不能代的

Answer 5

这是因为a+b不是定值。正确应该是这样：ab=2ab/2<=(2a+b)^2/8=8。最大值是8（当2a=b=4时取得）。