Question

设函数fx在[a,b]上有定义，在开区间（a，b）内可导则 当f（a）f（b）<0，

设函数fx在[a,b]上有定义，在开区间（a，b）内可导则
当f（a）f（b）<0，存在t∈（a，b），使得f（t）=0
对任何t∈（a,b），有limx→t[f(x)-f(t)]=0
当f（a）=f（b），存在t∈（a，b），使得f‘（t）=0
存在t∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f’（t）（b-a）
这里的可导不就是说明连续吗
可导的前提不是连续吗？

Answer 1

当f（a）f（b）<0，存在t∈（a，b），使得f（t）=0
对任何t∈（a,b），有limx→t[f(x)-f(t)]=0
以上这两个结论，只需要f（x）在[a,b]上连续（区间上连续了，当然就有定义了）就行了，无需在（a，b）上可导。
但是
当f（a）=f（b），存在t∈（a，b），使得f‘（t）=0
存在t∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f’（t）（b-a）
这两个结论就必须要f（x）在（a，b）上可导的条件，以防止出现不可导的点。

比方说f（x）=|x|（x∈[-1,1]），可知f（x）在[-1,1]上连续，f（-1）=f（1），但是在区间（-1,1）上不存在一个t能使得f'（t）=0，这是因为f（x）在这个区间内有个不可导的点x=0的缘故。所以对于“f（a）=f（b），存在t∈（a，b），使得f‘（t）=0
”的结论，就必须要f（x）在（a，b）上可导了。
对于“存在t∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f’（t）（b-a）
”这个结论，也可以以上面的例子反驳，所以也必须要f（x）在（a，b）上可导

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 3

在开区间可导不一定在闭区间连续

Answer 4

A：（a，b）可导只能说明fx在（a，b）连续。不适用于零点定理，A错。
B：正确
C：不一定成立，如fx为x?则成立，fx为x则不成立
D：C中x?情况可以否定该项