Question

高一数学数列题

在数列An Bn中，A1=B1=1，An+1=An/2An+1，Bn+1-Bn=1/An，Sn=1/B1+1/B2+1/B3+........+1/Bn
1；求Bn
2；求证Sn小于四分之九

Answer 1

【要理解你这题目可真费劲哟。a(n+1)=an/(2an+1)吧？你加个括号多好、不然2个混淆不清】
1。将a(n+1)=an/(2an+1)两边同时取倒数得到1/a(n+1)=1/an+2.
所以数列{1/an}为等差数列，首项为1，公差为2.
因而1/an=1/a1+2(n-1)=2n-1.
那么B（n+1）-Bn=2n-1（注意：往下的求法习惯上用叠加法）
B（n）-B（n-1）=2n-3
。。。
B（2）-B（1）=1
将上述等式相加得到B（n+1）-B（1）=1+3+5+……+2n-1=n^2（右边所用的是求等差数列前N项和公式，习惯上用高斯求1加到100的方法类似，先求出平均值，再乘以个数，这里个数如果不会确定的话看那些等式的第2项，B的标号从1到n共n项）
所以B（n+1）=n^2+B(1)=n^2+1.同理B（n）=（n-1）^2+1=n^2-2n+2(经验证B1也满足次式）
2.(这类题目通常经过适当缩放就可以证明）
因为n^2-2n+2>n^2-2n=n(n-2)
所以1/(n^2-2n+2)<1/[n(n-2)]=[1/(n-2)-1/n]/2
故Sn=1/1+1/2+1/5+……+1/(n^2-2n+2)<1+1/2+[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+……+1/(n-3)-1/(n-1)+1/(n-2)-1/n]/2=3/2+[1+1/2-1/(n-1)-1/n]/2<3/2+[3/2]/2=9/4.得证。

Answer 2

将a(n+1)=an/(2an+1)两边同时取倒数得到1/a(n+1)=1/an+2.
所以数列{1/an}为等差数列，首项为1，公差为2.
因而1/an=1/a1+2(n-1)=2n-1.
那么B（n+1）-Bn=2n-1（注意：往下的求法习惯上用叠加法）
B（n）-B（n-1）=2n-3
。。。
B（2）-B（1）=1
将上述等式相加得到B（n+1）-B（1）=1+3+5+……+2n-1=n^2（右边所用的是求等差数列前N项和公式，习惯上用高斯求1加到100的方法类似，先求出平均值，再乘以个数，这里个数如果不会确定的话看那些等式的第2项，B的标号从1到n共n项）
所以B（n+1）=n^2+B(1)=n^2+1.同理B（n）=（n-1）^2+1=n^2-2n+2(经验证B1也满足次式）

Answer 3

一楼二楼都不错