Question

正三棱锥P—ABC的底面边长为a，D为侧棱PA上一点，且AD=2PD，若PA垂直平面BCD，求这个三棱锥的高

Answer 1

设PA=PB=PC=b,

PD=b/3,AD=2b/3,

根据勾股定理，BD=2√2b/3,

AD^2+BD^2=AB^2,

b=√3a/2,PA=√3a/2,

BD=√6a/3,

在三角形BDC中作DE⊥BC，垂足E，

很明显，BD=CD，

DE=√15a/6，

S△BCD=BC*DE/2=√15a^2/12

AP⊥平面BCD，

VP-ABC=VP-BCD+VA-BCD=S△BCD*PA/3=√5a^3/24,

S△ABC=√3a^2/4,

设高为h,

VP-ABC=S△ABC*h/3=√3a^2h/12,

√3a^2h/12=√5a^3/24,

∴h=√15a/6.。