Question

高数多元函数微分证明...求高手 有追

设函数u=f(z)而z=z(x,y)由z=x+yg(z)[1-yg'(z)≠0,f,g可导]所确定，证明u/y=g(z)u/x

求过程 谢谢了

Answer 1

你好。你最后证明的应该是∂u/∂y=g(z)(∂u/∂x)吧.
要记住，∂u/∂y应是一整体，对u求y的偏导数，不是理解成除法，即∂u除以∂y，这是错的。
题目中说了z=z(x,y)由z=x+yg(z)[1-yg'(z)≠0,f,g可导]所确定,即z是关于x,y的二元函数，由方程决定。题目中已经给出由后面的z=x+yg(z)决定，所以不需要证明。（这里说明一下，方程决定隐函数，是有条件的，隐函数，就是比如xy=e^z+sinz这种，你解不出z=z(x,y),但是有这层函数关系的,[1-yg'(z)≠0,f,g可导]这就是一个条件）呵呵我有点罗嗦吧。。主要是想让你弄清楚
下面就开始：设F=z-x-yg(z),则两边对z求偏导，∂F/∂z=1-y(∂g/∂z)（这里∂g/∂z就是对g关于z求偏导，即g'(z),一般不这么写）
对x求偏导∂F/∂x=-1,对y求偏导∂F/∂y=-g(z)。求偏导就是把其他变量当常数，求法同一元。
这里我们有公式∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z),∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z).
然后，对u=f(z)两边对x求偏导，∂u/∂x=(∂f/∂z)(∂z/∂x)=(∂f/∂z)(1/1-y(∂g/∂z)){复合函数求导}
u=f(z)两边对y求偏导，∂u/∂y=(∂f/∂z)(∂z/∂y)=(∂f/∂z)(g(z)/1-y(∂g/∂z))
所以∂u/∂y=(∂u/∂x)g(z).证毕。
公式，隐函数求偏导数的章节里都有讲，详细太多，就不说了。
希望采纳，谢谢