Question

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,若a,b属于[-1,1],a+b不等于0时,有f(a)+f(b)/a+

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,若a,b属于[-1,1],a+b不等于0时,有f(a)+f(b)/a+b>0,判断函数f(x)在[-1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论

Answer 1

f(a)+f(b)/a+b>0
1. a+b>0则f(a)+f(b)>0
即a>-b f(a)>-f(b)=f(-b) 增函数
2. a+b<0则f(a)+f(b)<0
即a<-b f(a)<-f(b)=f(-b) 增函数
f(x)在[-1,1]上是增函数

Answer 2

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b＞0．判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．
考点：奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用．
专题：综合题．
分析：任取x1、x2两数使x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，进而根据函数为奇函数推知f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2），让f（x1）+f（-x2）除以x1-x2再乘以x1-x2配出f(a)+f(b)a+b的形式，进而判断出f（x1）-f（x2）与0的关系，进而证明出函数的单调性．解答：解：任取x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则-x2∈[-1，1]．又f（x）是奇函数，于是
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）
=f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)•（x1-x2）．
据已知f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)＞0，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．