Question

设f(x)=x^2+ax+b,求证绝对值f(1)绝对值 f(2)绝对值 f(3)中至少有一个不小于1/2

Answer 1

{3个数至少有一个不小于1/2,相反的意味着3个数都小于1/2，那么此题只要假设3个数都小于1/2，并且证明假设部成立，那么原命题得证}
反证法
假设│f(1)│ │f(2)││f(3)│中 都 小于1/2

方法一 （这种方法很麻烦）
得方程组│1+a+b│＜1/2;│4+2a+b│＜1/2;│9+3a+b│＜1/2
做aOb的平面直角坐标系，a为横轴，b为纵轴（当然也可以b为横轴，a为纵轴，平自己习惯）
画│1+a+b│＜1/2， 即 -1/2+a+b＜0； 3/2+a+b＞0，得区域①
画│4+2a+b│＜1/2，即 7/2+2a+b＜0； 9/2+2a+b＞0，得区域②
画│9+3a+b│＜1/2，即17/2+3a+b＜0；19/2+3a+b＞0，得区域③
（我这没有电脑画图的东西，通过手画）
通过图形可知区域①②③没有公共区域，那么方程组无解
所以假设不成立，原命题成立

方法二 （这种方法做多了才会想到）
注意到f(1)=1+a+b, f(2)=4+2a+b, f(3)=9+3a+b
所以f(1)+f(3)-2f(2)=2
根据绝对值不等式的性质可知
2=|f(1)+f(3)-2f(2)| ≤ |f(1)|+|f(3)|+2|f(2)| < 1/2+1/2+2*1/2 = 2
所以2<2,矛盾
所以假设不成立，故原命题得证！

Answer 2

用反证法:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|,全小于1/2;即
|a+b+1|<1/2,...-1/2<a+b+1<1/2....
...-1/2<-(a+b+1)<1/2..........(1)
|2a+b+4|<1/2,...-1/2<2a+b+4<1/2..........(2)
-1/2<-(2a+b+4)<1/2......(3)
|3a+b+9|<1/2,....-1/2<3a+b+9<1/2.........(4)
(1)+(2).得.-1<a+3<1.......-4<a<-2...(5)
(3)+(4)..得..-1<a+5<1......-6<a<-4...(6)
所以(5)与(6)矛盾,假设错误,原命题成立.

Answer 3

你做出函数 | f(x) | 的图像，因为a，b不确定，所以你可以借助图像，通过讨论图像的位置，确定a、b的范围，进而证明之。