Question

已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F是DE上一点。

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论。
忘了打一个条件AF=CE

Answer 1

解：（1）∵DE为BC的垂直平分线，
∴∠BED=∠CED，且DE‖AC，故E为AB的中点，
∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，
∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，
∠DEC=∠DFA，
∴AF‖CE，
又∵AF=CE，
∴四边形ACEF为平行四边形；

（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，
∵CE=1/2 AB，
∴AC=1/2 AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴当∠B=30°时，AB=2AC，
故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．

Answer 2

解：过点e作em⊥ac于m，作en⊥ab于n，ef⊥bc于f，
∵e是∠acb的平分线与∠abf的平分线的交点，
∴em=ef，en=ef，
∴em=en，
∴ae是∠cab的外角的平分线．
∵在rt△abc中，∠acb=90°，∠cab=30°，
∴∠abc=60°，∠bae＝
150°
2
＝75°，
∵eb是∠abc的外角的平分线，
∴∠abe=60°，
∴∠aeb=180°-60°-75°=45°．
故答案为：45°．