Question

求解向量的线性表示问题

证明：b=（-1,1,5）是向量a1=(1,2,3),a2=(0,1,4),a3=(2,3,6)的线性组合并具体将b用a1,a2,a3表示出来
我把他变换后得到 1 0 2 -1
0 1 -1 3
0 0 1 -1 矩阵和增广矩阵的秩相等 但是怎么表示呢 有点弄不太懂
还有就是极大无关组是怎么确定的 ？
哪位高手能够用通俗易懂点的话给我解释一下 书上的话实在太绕人了= =

Answer 1

若求具体的线性表示, 最好把矩阵化成行简化梯矩阵
1 0 2 -1
0 1 -1 3
0 0 1 -1
r1-2r3, r2+r3
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 -1
看看它的最后一列, 就有 b = a1 +2a2 - a3 ( ^_^ )

求极大无关组, 需将向量组构成的矩阵化成梯形
那么非零行的第1个非零元所在的列 对应的向量 就是一个极大无关组
比如 (a1,a2,a3,a4) 化成
1 2 3 4
0 0 4 5
0 0 0 8
则 a1,a3,a5 就是一个极大无关组.
当然还有别的极大无关组(如 a2,a3,a4)

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Answer 2

极大无关组有个最简单的确定方法，以列向量为例：列秩为a的矩阵，其任意a个线性无关的列向量就构成极大无关组。因为极大无关组的数量等于秩。
利用增广矩阵的做法很聪明，要想表示b也很简单，既然已经证明了b能由a1,a2,a3表示出来，那么就设存在x y z三个数使得b=xa1+ya2+za3即可，我们带入xa1+ya2+za3=(x+0+2z,2x+y+3z,3x+4y+6z)=b=（-1,1,5）
所以x+2z=-1，2x+y+3z=1，3x+4y+6z=5。解这个方程组即可。