Question

lim(n→∞)[1／（n+1）²+1／（n+2）²＋…1／（2n）²]

Answer 1

函数f(x)=1/(1+x).

用分点将区间[0,1]平均分成n份，分点是

x[k]=k/n,k=1,2,...,n.

利用定积分的定义，和式

∑{f(x[k])*(1/n),k=1...n}

当n->∞时的极限等于定积分

∫{f(x)dx,[0,1]}

而f(x[k])*(1/n)＝1/(n+k)，通项相等，也就是说你的式子等于上面的和式。

于是

lim[1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+……1/(n+n),n->∞]

=∫{f(x)dx,[0,1]}

=∫{1/(1+x)dx,[0,1]}

=ln(1+x)|[0,1]

=ln(1+1)-ln(1+0)

=ln2

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合。

扩展资料

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。

Answer 2

一方面有：
1/(n＋1)^2＋1/(n＋2)^2＋1/(n＋3)^2＋…＋1/(2n)^2
＜1/[n(n＋1)]＋1/[(n＋1)(n＋2)]＋1/[(n＋2)(n＋3)]＋…＋1/[(2n－1)(2n)]
＝1/n－1/(n＋1)＋1/(n＋1)－1/(n＋2)＋1/(n＋2)－1/(n＋3)＋…＋1/(2n－1)－1/(2n)
＝1/n－1/(2n)
＝1/(2n)
另一方面：
1/(n＋1)^2＋1/(n＋2)^2＋1/(n＋3)^2＋…＋1/(2n)^2＞1/(n＋1)^2
显然，1/(2n)及1/(n＋1)^2的极限均为0
由夹逼定理知，所求极限为0

Answer 3

1/(n+k)-1/(n+k+1)=1/[(n+k)(n+k+1)]<1/(n+k)^(2)<1/[(n+k)(n+k-1)]=1/(n+k-1)-1/(n+k), k=1,2,...,n
{1/(n+1)-1/(n+2)}+{1/(n+2)-1/(n+3)}+...+{1/(n+n)-1/(n+n+1)} < [1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+...+1/(n+n)^2] < {1/(n+1-1)-1/(n+1)}+{1/(n+2-1)-1/(n+2)}+...+{1/(n+n-1)-1/(n+n)}
1/(n+1)-1/(n+n+1) < [1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+...+1/(n+n)^2] < 1/(n+1-1) - 1/(n+n)
0=lim(n→∞)[1/(n+1)-1/(2n+1)] <= lim(n→∞)[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+...+1/(n+n)^2] <=lim(n→∞)[1/n-1/(2n)] = 0,
因此,lim(n→∞)[1／（n+1）²+1／（n+2）²＋…1／（2n）²] = 0