Question

已知，∠A=∠C=90°。若DE平分∠ADC，BF分∠ABC的外角，问DE与BF之间的关系

如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,D为BC边上一点,E为直线AC上一点,且∠ADE=∠AED。
（1）求证：∠BAD=2∠CDE
（2）如图，若D在BC的反响延长线上，其它条件不变
（1）中的结论是否成立，证明你的结论
已知，∠A=∠C=90°。
(1)若DE平分∠ADC，BF分∠ABC的外角，问DE与BF之间的关系
(2)若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，问BF与DE的位置关系并证明

Answer 1

（1）证明：
∵∠AED=∠ACB+∠CDE
∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠BAD+∠ABC且∠AED=∠ADE,∠ACB=∠ABC
∴∠ACB+∠CDE+∠CDE=∠ACB+∠BAD
∴∠BAD=2∠CDE

(2)详见 夜琦§菲雪

（3）DE与BF之间的关系是垂直
证明： 连接BD，延长BC到X使BC=CX,延长BA到Y使BA=AY,连接DX,DY
∵∠BAD=∠BCD=90°
∴∠XCD=∠YAD=90°
∵DC=DC,DA=DA
∴△ DBC全等△DCX（全等符号不好打出来，你懂得。。。）
△DAB全等△DAY
∴∠CDB=∠CDX,∠ADB=∠ADY
∵∠CDX=∠ADY
∴∠CDB=∠ADB即BD平分∠ADC
∴E在BD上,∠ABD=∠CBD
∵BF分∠ABC的外角
∴∠DBF=90°即DE与BF之间的关系是垂直

（4）DE与BF之间的关系是平行
证明： 连接BD
由（3）的结论证明BD与BF之间的关系是垂直
同理证明DE与BD之间的关系是垂直
∵BF和DE垂直于BD
∴DE与BF之间的关系是平行

Answer 2

证明：（2）∵在△CDE中，∠ACB＝∠E+∠CDE 且∠ACB=∠ABC，∠ADE=∠CDE
∴∠ABC=∠ADE+∠CDE
∵在△ADB中，∠ABC=∠ADB+∠DAB 且 ∠ADE=∠ADB+∠CDE
∴∠DAB+∠ADB=∠ADB+∠CDE+∠CDE
∴∠BAD=2∠CDE

追问

那题会，其他的

Answer 3

∵在△CDE中，∠ACB＝∠E+∠CDE 且∠ACB=∠ABC，∠ADE=∠CDE
∴∠ABC=∠ADE+∠CDE
∵在△ADB中，∠ABC=∠ADB+∠DAB 且 ∠ADE=∠ADB+∠CDE
∴∠DAB+∠ADB=∠ADB+∠CDE+∠CDE
∴∠BAD=2∠CDE

Answer 4

无语了，蠢

Answer 5

图不清

追问

点图放大

Answer 6

BF垂直于DE呗