Question

有一个关于不定积分的题目，求.sinx/(1+sinx)的不定积分，我用了两种原理上都可以的方法，为什么结果不一

第一种方法是二倍角公式求解算出一个结果，第二种方法是利用换元法，令tanx/2=t带入化简，但是最终两种结果却不一样，这是我算错了吗？？？那位老师可以为我解惑，真是不明白，真是感谢。

Answer 1

因为一个被积函数的不定积分有无数个，但它们之间都只是相差一个C（常数）而已。
例如∫sin2xdx=2∫sinxcosxdx=2∫sinxd(sinx)=(sinx)^2+C1
同时也可以这样做，∫sin2xdx=-2∫cosxd(cosx)=-(cosx)^2+C2
上面两个结果看似不相等，但是只要令C2=1+C1，它们就会相等了。。。
如此类推，，，不懂再密我吧。。

Answer 2

解答：

用A表示不定积分号，则：
A[sinx/(1+sinx)]dx=A[sinx(1-sinx)/(1-(sinx)^2)]dx=A[(sinx-(sinx)^2)/(cosx)^2]dx
=A[tanxsecx-(tanx)^2]dx=secx-A[(secx)^2-1]dx
=secx-tanx+x+c