Question

已知Sn=1/1²+1／2²+1／3²+……+1／n² 求证：Sn＜2

Answer 1

Sn=1/1²+1／2²+1／3²+……+1／n² <Sn"=1+(1\1*2)+(1\2*3)……(1\(n-1)*n)=1+(1-1\2)+(1\2-1\3)+(1\3-1\4)......(1\(n-1)-1\n)=1+1-1\n <2
所以Sn=1/1²+1／2²+1／3²+……+1／n² <2

Answer 2

因为1／n²<1/[n *(n-1)]
1/[n *(n-1)]=1/(n-1)-1/n
当n>=2时
1/1²+1／2²+1／3²+……+1／n² <1-1/2+1/2-1/3.......+ 1/(n-1)-1/n=1
两边同时加上1得
1/1²+1／2²+1／3²+……+1／n² <2
即
Sn＜2

Answer 3

放缩法，全部放缩为1/2,原式<=1*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)<2

Answer 4

Sn<1+1/(1*2)+1/(2*3)+.....+1/(n-1)n
=1+1-1/n
<2
简单的放缩