Question

已知函数f(x)有极大值， 且f'(x)=（a^2-a）lnx,则a的取值范围是 为什么a(a-1)<0

Answer 1

已知函数f(x)有极大值， 且f'(x)=（a^2-a）lnx,则a的取值范围是 为什么a(a-1)<0
解：令f′(x)=(a²-a)lnx=0，即得驻点x=1.
因为函数有极大值，因此x=1是极大点。既然是极大点，那么该点的二阶导数值应该为负，即有
f〃(x)=(a²-a)/x；f〃(1)=a²-a=a(a-1)<0,故得0<a<1.
【已知函数y=f(x)，若f′(a)=0，则x=a是函数y=f(x)的驻点；若f〃(a)<O，则x=a是极大点，f(a)是
极大值；若f〃(a)>0，则x=a是极小点，f(a)是极小值。】
【所谓二阶导数就是一阶导函数的导数，也就是把一阶导函数再求导一次。】
【如果f(a)是极大值，那么函数f(x)在x=a的某个邻域（邻域可大可小）内的图像是向上凸的，
因此在此邻域内的一阶导函数是减函数：在凸顶的左侧，函数图像的切线的斜率>0，在凸顶
的右侧，函数图像的切线的斜率<0，在凸顶的切线与x轴平行，因此其斜率＝0.函数切线的斜率
就是一阶导数。一阶导数由正变负，那它当然是减函数啦！反映在二阶导数上就是f〃(x)<0；如果
f(a)是极小值，情况正好相反：函数的图像在x=a的某个邻域内是向下凹的，因此其一阶导数是
增函数（由负变正），故有f〃(a)>0.】

Answer 2

要使f(x)有极大值，则f'(x)先正后负，但是因为在x>0上，
当0<x<1时，lnx<0,但是我们需要f'(x)>0，
又当x>1时，lnx>0,但是我们需要f'(x)<0，
所以只要（a^2-a）<0就可以达到改变符号的目的，
所以答案就是a(a-1)<0 。