Question

计算第一型曲面积分：∫∫(x+y+z)dA , ∑为上半球面z=√(a^2-x^2-y^2) (a>0)

Answer 1

解答过程如下：

扩展资料

第一形曲线积分和第二形曲线积分区别

一、方法不同

第一型曲面积分最基本的计算方法就是同第二型曲面积分一样, 也是化为二重积分。

第二型曲面最基本的方法就是通过找投影化为二重积分. 想要提醒一点的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 这时候x'=0, 即 dx=0, 所以曲面积分中包含 dxdy 与 dzdx 的两项直接为零,。

而关于 P(x,y,z)dzdx 的积分, 也变为了 P(c,y,z)dydz 的积分, 然后结合方向就可以化为二重积分.。同理, 对于 y 或者 z 为常数的情况亦是如此。

二、积分对象不同

第一内类曲线积分是对弧长积分，对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素；第二类曲线积分是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分，对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素。

三。应用场合不同

第一类曲线积分求非密度均匀的线状物体质量等问题，第二类曲线积分解决做功类等问题。

Answer 2

首先积分曲面关于xoz,yoz平面都是对称的,而被积函数(x+y)分别是关于x,y的奇函数,所以∫∫(x+y)=0,原积分=∫∫zds,而(z'x)^2+(z'y)^2+1=x^2/z^2+y^2/z^2+1=a^2/z^2,所以积分=∫∫azdxdy/z=a∫∫dxdy=πa^3

Answer 3

引用12345456789090的回答：
首先积分曲面关于xoz,yoz平面都是对称的,而被积函数(x+y)分别是关于x,y的奇函数,所以∫∫(x+y)=0,原积分=∫∫zds,而(z'x)^2+(z'y)^2+1=x^2/z^2+y^2/z^2+1=a^2/z^2,所以积分=∫∫azdxdy/z=a∫∫dxdy=πa^3

最后，上半球面的面积难道不是2πa^2？结果能是πa^3?那也是2πa^3吧 啊，最后积分区域改变了吧.....