为什么由 f(x)在x=0的邻域(不是去心邻域)二阶可导可以得到f′′(x)在x=0连续？
1个回答
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答：
你的怀疑没有错，这种说法是有问题的，根据二阶可导，最多只能推出一阶在x=0处连续，二阶可导，不能推出二阶在x=0处连续！因为：
若要f''(x)在x=x0处连续，必须满足：
1）lim(x→x0-)f''(x)=lim(x→x0+)f''(x)
2）f''(x0)有意义；
3）lim(x→x0)f''(x)=f''(x0)
而题设中，只能推出2)
反例：
f(x)= x² x>0
0 x=0
-x² x<0
你的怀疑没有错，这种说法是有问题的，根据二阶可导，最多只能推出一阶在x=0处连续，二阶可导，不能推出二阶在x=0处连续！因为：
若要f''(x)在x=x0处连续，必须满足：
1）lim(x→x0-)f''(x)=lim(x→x0+)f''(x)
2）f''(x0)有意义；
3）lim(x→x0)f''(x)=f''(x0)
而题设中，只能推出2)
反例：
f(x)= x² x>0
0 x=0
-x² x<0
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