Question

证明：曲线y=(x-1)/(x^2+1)有三个拐点，且这三个拐点位于同一直线上，求过程。

Answer 1

y=(x-1)/(x^2+1),y'=(x^2+1-2x(x-1))/(x^2+1)^2=(-x^2+2x+1)/(x^2+1)^2
y''=[(-2x+2)(x^2+1)^2-(-x^2+2x+1)(2(x^2+1)*2x]/(x^2+1)^4
=[(2-2x)(x^2+1)-4x(-x^2+2x+1)]/(x^2+1)^3=(2x^2+2-2x^3-2x+4x^3-8x^2-4x}/(x^2+1)^3
=[2x^3-6x^2-6x+2)/(x^2+1)^3=2[(x+1)(x^2-x+1)-3x(x+1)]/(x^2+1)^3
=[2(x+1)(x^2-4x+1)]/(x^2+1)^3=0, x1=-1,x2=2+根号3，x3=2-根号3 ，
y1=-1,y2=(1+根号3)/4(2+根号3)=(根号3-1)/4,y3=(1-根号3）/4(2-根号3)=(-根号3-1)/4
(y2-y1)/(x2-x1)=[(根号3+3)/4]/[3+根号3]=1/4,(y3-y1)/(x3-x1)=[(-根号3+3)/4]/[3-根号3]=1/4
所以 曲线y=(x-1)/(x^2+1)有三个拐点，且这三个拐点位于同一直线上

Answer 2

1. 求该函数的一阶导数。
2. 计算其一阶导数为0的点，并且导数左右符号相反，为三个点
3. 三个点用正好可以在一个直线上

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有比上面的办法更好的证明方式，但是涉及一点多项式理论的定理。不知道你的解题环境中是否允许你不加证明地引用那些定理。