Question

实数x，y满足3x^2+2y^2=6x，求x^2+y^2最大值？

注：参数方程为什么不是x=1+√3/3sina与y=√6/2cosa，而是x=1+sina与y=√6/2

Answer 1

方法一：利用二次函数性质
3x^2+2y^2=6x
y^2=-3/2 x^2+3x，
所以x^2+y^2=-1/2 x^2+3x=-1/2(x-3)^2+9/2
因为y^2=-3/2 x^2+3x>=0，所以0<=x<=2
函数f(x)=-1/2(x-3)^2+9/2，在[0,2]上是递增的，
所以当x=2时，f(x)有最大值，最大值为4;

方法二：按你所提示的方法，也比较复杂哦
3x^2+2y^2=6x，
可以化为（x-1)^2+y^2/(3/2)=1 （ *）
写成参数方程为x-1=cosa，y=(√6/2)sina 满足（*）式中左右两边相等；
当然你设成x-1=sina，y=(√6/2)cosa也行，也满足(*)式的左右两边相等。
即x=1+sina，y=√6/2cosa
x^2+y^2
=(1+sina)^2+(3/2)(cosa)^2
=1+2sina+(sina)^2+(3/2)[1-(sina)^2]
=(-1/2)(sina)^2+2sina+5/2
=(-1/2)(sina-2)^2+9/2
因为|sina|<=1，所以当sina=1时，有最大值，最大值为4

追问

我知道x=1+sina行，但为什么不是x=1+√3/3sina呢？此时也满足啊

追答

√3/3怎么来的？？？？

追问

由原式推得，关健是为什么不行呢？如果按照x=1+√3/3sina和y=√6/2cosa，不也可推得3x^2+2y^2=6x么，还有关于曲线的参数方程的求法我不是很懂你能够说说吗？

追答

你的x、y不满足方程3x^2+2y^2=6x

Answer 2

其实做题的一般规则就是，怎么代换最简单明了，好算，就是最佳
你那样代换也是可以的，但算起来感觉复杂一些。
因此，化成标准式总是必要的。
(x-1)^2+y^2/(3/2)=1
这样设x=1+sinα y=(√6/2)cosα
x^2+y^2=1+2sinα+(sinα)^2+=(√6/2)[1-(sinα)^2]
通过化简，利用配方法和正弦值的范围求解。

Answer 3

2*y^2=-3x^2+6x . 则， x^2+y^2=x^2-3/2x^2+6x=-0.5(x-6)^2+18
实数条件，满足2*y^2>=0 即-3x^2+6x>=0,得x属于[0,2]. 当x在[0.2]中，x^2+y^2单调憎
得，最大值当，x=2,y=0, 得最大值 4

Answer 4

最后一项少了个cosa吧
曲线方程做吧