Question

问题探索：（1）一直一个分数n/m(m>n>0),如果分子分母同时增加一分数值增大还是减小?

(2)如正分数n/m(m>n>0)中分子和分母同时增加2，3······，k(整数k>0)，情况如何？
（3）请你用上面结论解释下面的问题：建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积但按采光标准，窗户面积与地板面积比应不小于百分之十，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好好了还是变坏了？请说明理由。

Answer 1

（1）原分数为N/M
由于M＞N＞0
1-N/M=（M-N）/M
新分数为（N+1）/（M+1）
1-（N+1）/（M+1）=（M-N）/（M+1）
将两个差比较，后来的差分母变大，分子不变。因此分数值变小
所以后一个差小，说明新分数比1小得更少，因此新分数大于原分数
（2）用1依次减去后来的新分数，可以看到，所得的差分子都不变，分母依次增大
因此后来的差越来越小，即新得的分数越来越大
（3）采光效果和窗户面积/地板面积的比值有关。
当窗户面积和地板面积同时增加相同的数值，相当于前面同时增加分数的分子分母，所得分数值越来越大，因此采光条件越来越好

Answer 2

解：（1）

nm

＜

n+1m+1

（m＞n＞0）
证明：∵

nm

-

n+1m+1

=

n-mm(m+1)

，
又∵m＞n＞0，
∴

n-mm(m+1)

＜0，
∴

nm

＜

n+1m+1

．

（2）根据（1）的方法，将1换为k，有

nm

＜

n+km+k

（m＞n＞0，k＞0）．

（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，
由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；
则可得：

y+ax+a

＞

yx

，
所以住宅的采光条件变好了．