Question

【数学】函数f（x）＝x＋1/x (1)证明f（x）在（1,＋∞）上是增函数且（2,4）上的最值

Answer 1

假设楼主高一，没学过导数，所以用高一的方法解。

（1）
设x2>x1>1，则

f(x2) - f(x1) = x2 + 1/x2 - x1 - 1/x1
= (x2-x1) - (x2 - x1) / (x1x2)
= (x2-x1)(1 - 1/x1x2)
因为x2>x1>1，故x1x2>1，故
x2 - x1 > 0 且 1-1/x1x2 >0， 故f(x2) - f(x1) >0
故f(x) 在 (1, +inf)上单增。

（2）
利用上一问的结论，在(1,+inf)上单增，故
在[2,4]上的最大值肯定是x=4时取得，f(4)=17/4

在[2,4]上的最小值肯定是x=2时取得，f(2)=5/2

追问

求详细讲解如图被圈部分的解题,-)过程

追答

你理解错了。被圈部分不是一路递等下来的，要整行看。从被圈部分的第二行到第三行用了提公因式。

第二行共2项，每一项提出公因式(x2-x1)来，剩下1-1/(x1x2)。显然，1-1/(x1x2)<1。

至于从第三行变形到第四行，那是不必要的，第三行已经达到目的了。

两点注解：
（1）有点儿滥用“提公因式”这个术语，因为“公因式”的概念是属于整式范畴，无关分式。
（2）楼主对于代数式变形的功力还要在高中三年逐步加强。本题的这种变形在高考中就是小菜。

Answer 2

这样

追问

求详细讲解如图的过程,-)