Question

已知函数y=f(x)是奇函数,且在(负无穷,0)上是减函数,求证:y=f(x)在(0,正无穷)上是减函数 急急急急！！！！

要详细过程

Answer 1

证明，
因为f(x)在(-无穷,0)上是减函数，所以对于任意的x1<x2<0，
恒有f(x1) > f(x2)，即f(x1) - f(x2) > 0
因为f(x)是奇函数，所以f(-x) = -f(x)
即，对于任意的x3 > x4 > 0，有-x3 < -x4 < 0
f(x3) - f(x4) = -f(-x3) + f(-x4) = - (f(-x3) - f(-x4)) < 0
所以f(x)在(0, +无穷)上是减函数。

严格的用定义证，包括奇函数和减函数的定义。

Answer 2

因为函数y=f(x)是奇函数
所以函数关于原点对称 且（负无穷,0）（0,正无穷）上单调性相同
所以在(0,正无穷)上是减函数

Answer 3

取（0，正无穷)上x1大于x2，则-x1小于-x2，f（-x1）=-f（x1）大于f（-x2）=-f（x2）。故f（x1）小于f（x2），即f（x）在（0，正无穷）上是减函数。

Answer 4

解：因为函数y=f(x)在（-∞，0）上是减函数
因此当x∈（-∞，0）时，f'(x)<0
又因为函数y=f(x)是奇函数，所以f'(-x)=f'(x)
所以当x∈（0，+∞）时，f'(x)=f'(-x)<0
故y=f(x)在(0,正无穷)上是减函数