Question

如图在RT三角形ABC中，∠C=90°,AB=50,AC=30,D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，点P从点D出发沿折线DE-EF-FC

如图在RT三角形ABC中，∠C=90°,AB=50,AC=30,D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7各单位长的速度运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4各单位长的速度匀速运动，过点Q做射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G，点P,Q同时出发，当点P绕行一周回到点D是停止运动，点Q也随之停止，设点P,Q运动的时间是t秒
⑴D,F两点之间的距离是多少？
⑵射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值，若不能，说明理由。
⑶当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求出t的值；
⑷连接PG，当PG‖AB时，请直接写出t的值。

Answer 1

解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，∴DF=12AB=25

（2）能．
如图1，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，
∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分
（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），
此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t=12.5+164=7
18．

（3）①当点P在EF上（267≤t≤5）时，
如图2，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得7t-2050=
25-4t30．
∴t=42141；
②当点P在FC上（5≤t≤767）时，
如图3，已知QB=4t，从而PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=712；
4）如图4，t=123；如图5，t=73943．
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：
当0＜t≤267时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，
如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；
当5≤t≤767时，点P，G均在FC上，也不存在，
PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在767＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，
如图5，当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）．

Answer 2

30
90
50

追问

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