Question

设数列an 的前n项和为Sn,且Sn=(1+λ)-λan

设数列an的前n项和为sn,且sn=(1+λ)-λ an,其中λ ≠-1,0。
（1）证明：数列an是等比数列。(这题会）
（2）设数列an的公比q=f（λ），数列bn满足b1=1/2，bn=f（b（n-1））（n∈N*，n≥2），求数列bn的通项公式。（这题也会）
（3）记λ=1，记Cn=an(1/bn -1)，求数列{Cn}的前n项和为Tn
（主要问的是第三题，前两题应该和第三题有联系）

Answer 1

(1)
a(1)=s(1)=(1+λ)-λa(1), λ ≠-1,所以,a(1)=1.
n>1时,a(n)=s(n)-s(n-1)=(1+λ )-λ a(n)-(1+λ )+λ a(n-1),
(1+λ)a(n)=λ a(n-1),
a(n)=[λ/(1+λ)]a(n-1), n=2,3,...
所以,
数列{a(n)}是首项为1,公比为λ/(1+λ)的等比数列.
(2).
由(1)知,λ/(1+λ)=q=f(λ).
b(1)=1/2,
n>1时,b(n)=f[b(n-1)]=b(n-1)/[1+b(n-1)],
由归纳法知,b(n)>0.
1/b(n)=[1+b(n-1)]/b(n-1)=1+1/b(n-1),
数列{1/b(n)}是首项为1/b(1)=2,公差为1的等差数列.
1/b(n)=2+(n-1)=n+1,
b(n)=1/(n+1),n=1,2,...
(3)
λ=1,
由(1),a(n)=[λ/(1+λ)]^(n-1)=1/2^(n-1),n=1,2,...
由(2),
C(n)=a(n)[1/b(n)-1]=1/2^(n-1)[n+1-1]=n/2^(n-1),n=1,2,...
T(n)=C(1)+C(2)+...+C(n)=1/2^(0)+2/2^(1)+...+n/2^(n-1)=1/1+2/2+3/2^2+...+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1),
n>1时,
2T(n)=2+2/1+3/2+...+(n-1)/2^(n-3)+n/2^(n-2),
T(n)=2T(n)-T(n)=2+[2/1-1/1]+[3/2-2/2]+...+[(n-1)/2^(n-3)-(n-2)/2^(n-3)] + [n/2^(n-2)-(n-1)/2^(n-2)] - n/2^(n-1)
=2+[1/1]+[1/2]+...+[1/2^(n-3)]+[1/2^(n-2)] - n/2^(n-1)
=2+[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2) - n/2^(n-1)
=2+2[1-1/2^(n-1)] - n/2^(n-1)
=4-(n+2)/2^(n-1)
又,T(1)=C(1)=1,
因此,总有,
T(n)=4-(n+2)/2^(n-1),n=1,2,...