Question

求当m取何值时，直线L1：5x-2y+3m(3m+1)=0与L2:2x+6y-3m(9m+20)=0的交点到直线L3：4x-3y-12=0的距离最短？

还有：这个最短距离是多少？
快
快
快

Answer 1

求出交点为(3m，27m²/2＋3m/2)，交点坐标满足2y=3x²＋x，则本题就是曲线y=(3/2)x²＋(1/2)x上的点到直线4x－3y－12=0的最小距离。d=|4x－3y－12|/5=|(9/2)x²＋(3/2)x－4x＋12|/5=|9x²－5x＋24|/10，求出最小值即可。

Answer 2

5x-2y+3m(3m+1)=0(1)
2x+6y-3m(9m+20)=0(2)
(1)×3+(2)
17x+9m(3m+1)-3m(9m+20)=0
17x=27m²+60m-27m²-9m
17x=51m
x=3m
代入（2）
6m+6y=3m(9m+20)
m+y=m(9m+20)/2
y=(9m²+18m)/2
到直线距离d=｜12m-3/2(9m²+18m)-12｜/5=3/10｜-9m²-10m-8｜=3/10｜9(m+5/9)²+47/9｜
=27/10(m+5/9)²+47/30
当m=-5/9时，d有最小值47/30
此时交点（-5/3，-65/18）

Answer 3

5x-2y+3m(3m+1)=0(1)
2x+6y-3m(9m+20)=0(2)
(1)×3+(2)
17x+9m(3m+1)-3m(9m+20)=0
17x=27m²+60m-27m²-9m
17x=51m
x=3m
代入（2）
6m+6y=3m(9m+20)
m+y=m(9m+20)/2
y=(9m²+18m)/2
到直线距离d=｜12m-3/2(9m²+18m)-12｜/5=3/10｜-9m²-10m-8｜=3/10｜9(m+5/9)²+47/9｜
=27/10(m+5/9)²+47/30
当m=-5/9时，d有最小值47/30
此时交点（-5/3，-65/18）

Answer 4

由L1,L2两方程式x=3m,y=5/4m平方，用点到直线的距离公式算