Question

已知f (x ) 是二次函数， f ′(x ) 是它的导函数，且对任意的x ∈ R ， f ′( x) = f ( x + 1) + x 2 恒成

（1）求f (x ) 的解析表达式； （2）设t大于0，曲线c: y=f (x )在点P（t,f(t)）处的切线为l,l与坐标轴围成的三角形面积为s(t). 求s(t)的最小值

Answer 1

(1)设f(x)=ax^2+bx+c,则f'(x)=2ax+b,由f'(x)=f(x+1)+x^2,得到：f(x)=-x^2+1.
(2)直线l的斜率为-2t+1，直线方程为：y=-2tx+t^2+1.
与坐标轴的交点分别为（0，t^2+1），(t/2+1/(2t),0)
s(t)=(t^3+2t+1/t)/4
s‘（t）=[3t^2+2-1/(t^2)]/4=0,得到t^2=1/3,所以s(t)min=（4√3）/9