Question

关于指数函数的应用题

每年夏天，百分之10的树木会死亡，但是每年冬天，工人都会补种100棵树。
1980年的冬天结束时，林中有1200棵树。
问：在1970年的冬天结束后，曾有多少棵树？

Answer 1

设70年冬天结束后有树f(1),71年冬天结束后有树f(2),72年冬天结束后有树f(3)……所以
f(n+1)=f(n)*0.9+100
可以变形为f(n+1)-1000=0.9*[f(n)-1000]
然后列出f(2)-1000=0.9*[f(1)-1000]
f(3)-1000=0.9*[f(2)-1000]
f(4)-1000=0.9*[f(3)-1000]
……
f(21)-1000=0.9*[f(20)-1000]
然后迭乘
得到 f(21)-1000=0.9^20*[f(1)-1000]

最后f(1)=200*(10/9)^20+1000

Answer 2

首先说，这道题本身有问题。
比如假设1979年冬天结束时有x棵树，那么在1980年间，有（1-10%）x+100=1200，x显然没有整数解的，这是一个矛盾。
===========================
姑且从题目本身说，
假设1970年冬天结束后有x棵树
那么，
1971年冬天结束后，有(1-10%)x+100 棵树
1972年冬天结束后，有(1-10%)[(1-10%)x+100]+100 棵树，即(1-10%)^2 * x +(1-10%)*100+100
如果还看不出规律的话，可以，再算1973年冬天结束后，
有(1-10%)[(1-10%)^2 * x +(1-10%)*100+100]+100 棵树，
即(1-10%)^3 * x +(1-10%)^2 *100+(1-10%)*100+100
抛开带有x的项，其余常数项【即(1-10%)^2 *100+(1-10%)*100+100】构成了一个等比数列的前N项和，a1=100,q=1-10%=0.9，
那么Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =100(1-0.9^n)/(1-0.9)=1000(1-0.9^n)

那么可以知道
1980年冬天结束后，有(1-10%)^10 * x +(1-10%)^9 *100+(1-10%)^8 *100+…+(1-10%)*100+100 棵树，即0.9^10 * x+1000(1-0.9^10)=1200
化简得，0.9^10 （x-1000）=200
我觉得这个解不出整数根……