求分段函数可导性时必须先求连续性吗?直接用定义求可导不行吗
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2016-10-21
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可以用定义啊,但是必须是求导的定义公式
即f'(x0)=lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
例如这个函数f(x)=x(x≥0);x-1(x<0)
这样一个分段函数,你不能认为在x=0点的左导数为(x-1)'=1
右导数为(x)'=1,左右导数都是1,所以在x=0点的导数为1
因为(x-1)'=1和(x)'=1都是在函数连续的前提下才成立的。
而这函数只是右连续,没有左连续。
所以用(x-1)'=1求左导数就是错误的。
只能用f'(0-)=lim(x→0-)[f(x)-f(0)]/(x-x0)来求左导数
左导数为f'(0-)=lim(x→0-)[f(x)-f(0)]/(x-0)
=f'(0-)=lim(x→0-)[(x-1)-0]/x(因为f(0)是根据x的计算式得到f(0)=0)
=lim(x→0-)(x-1)/x=∞
所以左导数不存在,在该点不可导。
即f'(x0)=lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
例如这个函数f(x)=x(x≥0);x-1(x<0)
这样一个分段函数,你不能认为在x=0点的左导数为(x-1)'=1
右导数为(x)'=1,左右导数都是1,所以在x=0点的导数为1
因为(x-1)'=1和(x)'=1都是在函数连续的前提下才成立的。
而这函数只是右连续,没有左连续。
所以用(x-1)'=1求左导数就是错误的。
只能用f'(0-)=lim(x→0-)[f(x)-f(0)]/(x-x0)来求左导数
左导数为f'(0-)=lim(x→0-)[f(x)-f(0)]/(x-0)
=f'(0-)=lim(x→0-)[(x-1)-0]/x(因为f(0)是根据x的计算式得到f(0)=0)
=lim(x→0-)(x-1)/x=∞
所以左导数不存在,在该点不可导。
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当然可以直接用定义求导,但是注意不要用错导数的定义了。
先求连续性的目的在于:一旦不连续定然不可导,就不必再往下计算了;但是如果连续了,还得接着按导数的定义计算。
先求连续性的目的在于:一旦不连续定然不可导,就不必再往下计算了;但是如果连续了,还得接着按导数的定义计算。
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