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证明:
1)
构造函数:y=arctanx+arctan(1/x)
其定义域为:x>0
在任意其定义域区间(b,a)a>b>0,显然该函数满足拉格朗日中值定理,因此:
∃ξ∈(b,a),则:
[f(a)-f(b)]/(a-b)
= f'(ξ)
= 1/(1+ξ²) + 1/[1+(1/ξ)²] * (-1/ξ²)
=0
即:
f(a)=f(b)
上式表明该函数在任意定义域内都有f(a)=f(b),因此:
函数f(x)是常数函数
令a=1,则:
f(1)=π/2
∴arctanx+arctan(1/x) =π/2
2)
构造函数:y=arctanx - (1/2)arccos[2x/(1+x²)]
其定义域:x≥1
显然在定义域的任何区间内,该函数满足拉格朗日中值定理,因此:
对于定义域内任意区间(b,a),∃ξ∈(b,a),则:
[f(a)-f(b)]/(a-b)
= f'(ξ)
= 1/(1+ξ²) -(1/2)/√{1-[2ξ/(1+ξ²)]²} · {[2(1+ξ²)-4ξ²]/(1+ξ²)²}
=0
即:
f(a)=f(b)
上式表明该函数在任意定义域内都有f(a)=f(b),因此:
函数f(x)是常数函数
令a=1,则:
f(1)=π/4
∴arctanx - (1/2)arccos[2x/(1+x²)]=π/4
1)
构造函数:y=arctanx+arctan(1/x)
其定义域为:x>0
在任意其定义域区间(b,a)a>b>0,显然该函数满足拉格朗日中值定理,因此:
∃ξ∈(b,a),则:
[f(a)-f(b)]/(a-b)
= f'(ξ)
= 1/(1+ξ²) + 1/[1+(1/ξ)²] * (-1/ξ²)
=0
即:
f(a)=f(b)
上式表明该函数在任意定义域内都有f(a)=f(b),因此:
函数f(x)是常数函数
令a=1,则:
f(1)=π/2
∴arctanx+arctan(1/x) =π/2
2)
构造函数:y=arctanx - (1/2)arccos[2x/(1+x²)]
其定义域:x≥1
显然在定义域的任何区间内,该函数满足拉格朗日中值定理,因此:
对于定义域内任意区间(b,a),∃ξ∈(b,a),则:
[f(a)-f(b)]/(a-b)
= f'(ξ)
= 1/(1+ξ²) -(1/2)/√{1-[2ξ/(1+ξ²)]²} · {[2(1+ξ²)-4ξ²]/(1+ξ²)²}
=0
即:
f(a)=f(b)
上式表明该函数在任意定义域内都有f(a)=f(b),因此:
函数f(x)是常数函数
令a=1,则:
f(1)=π/4
∴arctanx - (1/2)arccos[2x/(1+x²)]=π/4
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2024-04-02 广告
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