高等数学不定积分求解
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换元,
令t=√(1+x)/x=√(1+1/x),
则t²=1+1/x,
故x=1/(t²-1)
故∫1/x√(1+x)/xdx
=∫(t²-1)td(1/(t²-1))
=-∫(t²-1)t*2t/(t²-1)²dt
=-2∫t²/(t²-1)dt
=-2∫(1+1/(t²-1))dt
=-2∫(1+1/(t+1)(t-1))dt
而裂项公式1/(t+1)(t-1)=(1/(t-1)-1/(t+1))/2
所以
-2∫(1+1/(t+1)(t-1))dt
=-2∫dt-∫1/(t-1)dt+∫1/(t+1)dt
=-2t-ln绝对值(t-1)+ln绝对值(t+1)+C
(C为常数)
再把t=√(1+x)/x代入即可
令t=√(1+x)/x=√(1+1/x),
则t²=1+1/x,
故x=1/(t²-1)
故∫1/x√(1+x)/xdx
=∫(t²-1)td(1/(t²-1))
=-∫(t²-1)t*2t/(t²-1)²dt
=-2∫t²/(t²-1)dt
=-2∫(1+1/(t²-1))dt
=-2∫(1+1/(t+1)(t-1))dt
而裂项公式1/(t+1)(t-1)=(1/(t-1)-1/(t+1))/2
所以
-2∫(1+1/(t+1)(t-1))dt
=-2∫dt-∫1/(t-1)dt+∫1/(t+1)dt
=-2t-ln绝对值(t-1)+ln绝对值(t+1)+C
(C为常数)
再把t=√(1+x)/x代入即可
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