Question

极限证明

lim f(x) =A(A不为零)，求证 存在某时刻，此时刻之后，|f(x)| >|A|/2.
可能有点难…

Answer 1

由极限定义知|f(x)-A|<ε,对于任意的ε>0恒成立
由于A不为0，所以|A|>0 取ε=|A|/2
由绝对值不等式得|A|-|f(x)|≤|f(x)-A|<ε=|A|/2
∴|f(x)|>|A|-|A|/2=|A|/2
即存在某时刻，此时刻之后，|f(x)| >|A|/2

Answer 2

这个题目不难。
由lim f(x) =A(A不为零)，可以推出lim |f(x)| =|A|(A不为零)（||f(x)| -|A||<|f(x) -A|<e）
则可由极限保号性可得，存在某个时候，|f(x)| >|A|/2