Question

高数空间解析几何与向量代数题求解

1.求过点M(2，-3,1)和直线L：{x-5y-16=0 的平面方程
2y-z+6=0
2.在平面x+y+z+1=0内作直线，通过已知直线y+z+1=0,x+2z=0与平面的交点，且垂直与已知直线。
3.求点（1,2,3）到直线x/1=(y-4)/(-3)=(z-3)/(-2)的距离
4.已知OA=i+3k OB=j+3k 求平分OA与OB夹角的单位向量c

Answer 1

1,
过直线x-5y-16=0,2y-z+6=0的平面方程可设为
x-5y-16+a(2y-z+6)=0,
将点M(2,-3,1)带入上式,有
0=2+15-16+a(-6-1+6), a=1,
所以,所求平面方程为 0=x-5y-16+2y-z+6=x-3y-z-10
2,
先求直线y+z+1=0,x+2z=0与平面x+y+z+1=0的交点,
将y=-1-z,x=-2z带入0=x+y+z+1,得0=-2z-1-z+z+1,z=0,x=0,y=-1.
因此,交点坐标为(0,-1,0).
再确定已知直线的方向向量T,T同时垂直于平面y+z+1=0和x+2z=0的法向量.因此是这两个法向量的叉积.
T={0,1,1}x{1,0,2}={2,1,-1}.
然后,求所求直线的方向向量S,S同时垂直于平面x+y+z+1=0的法向量和已知直线的方向向量T.因此是这两个向量的叉积.
S=T x {1,1,1}={2,-3,1}
因此,根据所求直线上的点(0,-1,0)和所求直线的方向向量S,所求直线方程为:
x/2=(y+1)/(-3)=z/1
3,
点A(0,4,3)在直线x/1=(y-4)/(-3)=(z-3)/(-2)上,
直线x/1=(y-4)/(-3)=(z-3)/(-2)的单位方向向量T为{1/(14)^(1/2),-3/(14)^(1/2),-2/(14)^(1/2)}.
点B(1,2,3)指向点A的向量{-1,2,0}在T上的投影的绝对值就是点（1,2,3）到直线x/1=(y-4)/(-3)=(z-3)/(-2)的距离.
因此,点（1,2,3）到直线x/1=(y-4)/(-3)=(z-3)/(-2)的距离等于向量{-1,2,0}与T的点积的绝对值.
所求距离=|{-1,2,0}.{1/(14)^(1/2),-3/(14)^(1/2),-2/(14)^(1/2)}|=(1/2)(14)^(1/2)
4,
线段OA的长度=(10)^(1/2)=线段OB的长度.
因此,线段AB的中点D与原点O的连线就是一条平分OA与OB夹角的平分线.
点D的坐标=[{1,0,3}+{0,1,3}]/2 = {1/2,1/2,3}.
OD=i/2+j/2+3k,
单位化OD,得c=i/(38)^(1/2)+j/(38)^(1/2)+6k/(38)^(1/2)

Answer 2

太简单啦，不过我已经大三了，忘了，嘿嘿。。。

追问

再想想再想想