Question

求矩阵|1+a1,1,...,1| |1,1+a2,...,1| |...,...,...,...| |1,1,...,1+an|的逆矩阵

要有详细步骤 谢谢啦

Answer 1

题目中不是有 a1a2a3...an不等于0 ?!

第1行乘 -1 加到其余各行 得
1+a1 1 ... 1
-a1 a2 ... 0
... ...
-a1 0 ... an

第k列提出ak,k=1,2,...,n (注意ai不等于0) 得 a1a2a3...an*
1+1/a1 1/a2 ... 1/an
-1 1 ... 0
... ...
-1 0 ... 1

第2到n列加到第1列, 得一上三角行列式
1+1/a1 1/a2 ... 1/an
0 1 ... 0
... ...
0 0 ... 1

行列式 = a1a2a3...an( 1+1/a1+2/a2+...+1/an)

追问

是求逆矩阵，不是行列式

追答

求逆阵(用伴随矩阵的方法 ):
记 D = a1a2a3...an( 1+ 1/a1+2/a2+...+1/an)
= a1a2a3...an+a2a3...an+a1a3...an+a1a2...an+...+a1a2a3...a(n-1)
记 Di = D中去掉所有的ai (i=1,2,...,n)
如: D1 = a2a3...an+a3...an+a2a4...an+...+a2a3...a(n-1)
其实这是第1行第1列的余子式!
记 Dij = a1a2...an/(aiaj) 即 a1,a2,到 an 不含 ai,aj的连乘.

则逆矩阵 = (1/D)*

D1 -D12 ... -D1n
-D21 D2 ... -D2n
: : :
-Dn1 -Dn2 ... Dn

这是个对称矩阵 好麻烦吔