Question

超级超级难，求解一道数学题，竞赛的，我和几个同学做了几天做不出。。。 求完整过程

PA、PB为圆O两切线，A、B为切点，PA^2=PC*PE，求证，点F平分AB。
（P、F、O三点共线一直证不出）
“这是左右对称的。。。，F，P，O在一条直线上”怎么证？这是最困难的。

Answer 1

如图，延长PC到圆上，与圆交于点N，因为PC*PN=PA方

所以PN=PE

所以后面就好证了。。。

这是左右对称的。。。，F，P，O在一条直线上。。

Answer 2

嗯，貌似有点难度。比我一开始想得要困难。。。
来一个很没有技术含量的解法。
连接PO，令PO与AB相交于点H，连接CH,延长CH至于点E' 。连接CO。
因为PO:AO=AO:OH（PO和AH垂直相交，AO与AP垂直，所以AOH相似于POA）。
所以PO:CO=CO:OH（CO=AO），所以三角形POC相似于三角形COH。所以角COH=角CPH。设角AOH为a,角COH为b，角OCH为c。
则CE'的长度为2cos(c)*r （r为圆o的半径）
又：
因为三角形POC相似于三角形COH，所以
1）PC=CH/OH*r，其中
OH=r*cos(a)
CH^2=OH^2+r^2-2*OH*r*cos(b)=(r*cos(a))^2+r^2-2*r^2*cos(b)*cos(a)
2）又有PE=PA^2/PC，PA=tan(a)*r=(sin(a)/cos(a))*r
3）角CPE=2*c (这个问题前面的angel00100已经给了证明方式了。)

由公式CE^2=PC^2+PE^2-2*PC*PE*cos(2c)可以算出CE的长度。
详细计算不再赘述，只需要用到cos(2c)=2*cos(c)^2-1这个公式。剩下就是死算。

为了方便计算，可以令r=1,然后用cos(a)和cos(b)表达cos(c)，再代入CE和CE'的表达式，可得CE=CE'。
因为E和E'在同一圆上，容易证明，E和E'重合。因此CE和AB的交点F与H重合。点F平分AB。

（解完以后还是很郁闷，应该有很容易的解法才对啊。。。）