Question

高中数学题求解 急急急急

（1）.,斜率为1的直线经过抛物线y^2=4x的焦点，与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长
（2）,,经过点M（2.0）作斜率为一直线L，交抛物线y^2=4x于A.B两点。求|AB|

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Answer 1

（1）.,斜率为1的直线经过抛物线y^2=4x的焦点，与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长
解:p=2，焦点F(1，0），直线方程y=x-1，代入抛物线方程得
(x-1)²=4x，x²-6x+1=0，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)
于是x₁+x₂=6； y₁+y₂=(x₁-1)+(x₂-1)=(x₁+x₂)-2=6-2=4
x₁x₂=1， y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1=1-6+1=-4
故│AB│=√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]=[√(x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²-4(x₁x₂+y₁y₂)]
=√[36+16-4(1-4)]=√64=8
（2）,,经过点M（2.0）作斜率为1的直线L，交抛物线y^2=4x于A.B两点。求|AB|
解：直线方程：y=x-2，代入抛物线方程得：
(x-2)²=4x，x²-8x+4=0.设A((x₁，y₁)，B(x₂，y₂)
于是x₁+x₂=8， y₁+y₂=(x₁-2)+(x₂-2)=(x₁+x₂)-4=8-4=4
x₁x₂=4， y₁y₂=(x₁-2)(x₂-2)=x₁x₂-2(x₁+x₂)+4=4-16+4=-8
故│AB│=[√(x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²-4(x₁x₂+y₁y₂)]=√[64+16-4(4-8)]=√96=4√6

Answer 2

（1）焦点是（1，0），所以直线是Y=x-1
解方程得x1=3-2*2½，y1=2-2*2½；
或x2=3+2*2½，y2=2+2*2½。
则d=（（y2-y1）²+（x2-x1）²）½=8

Answer 3

使用弦长公式：|AB|=√(1+k^2)*|x1-x2|=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4*x1*x2]，其中k是直线的斜率，x1，x2是直线方程与二次曲线消去y后的关于x的一元二次方程的两根，根据弦长公式，不需要解出x1，x2，只需利用根与系数的关系就能计算。