Question

已知不等式1≤-x²+x+a≤17/4在x属于[-1，1]上时总成立，求实数a的取值范围

已知不等式1≤-x²+x+a≤17/4在x属于[-1，1]上时总成立，求实数a的取值范围

Answer 1

解：
-x²+x+a≤17/4 (x-1/2)²≥a-4
-x²+x+a≥1 (x-1/2)²≤a-3/4
x∈[-1，1] 1/4≤(x-1/2)²≤9/4
要不等式恒成立，则只有
a-3/4≥9/4 a-4≤1/4
3≤a≤17/4
a的取值范围为[3，17/4]

追问

看不懂了？

(x-1/2)²≥a-4
(x-1/2)²≤a-3/4
1/4≤(x-1/2)²≤9/4

怎么来的？
下面的都不太懂了

追答

呵呵。
就是当(x-1/2)²取到最小值的时候，仍能保证(x-1/2)²≥a-4是成立的。
同样道理，当(x-1/2)²取到最大值的时候，仍能保证(x-1/2)²≤a-3/4是成立的。
这个时候取到的a，就能保证不等式在[-1，1]上始终是成立的。

追问

为什么是以(x-1/2)²讨论呢？

追答

这就要观察了，呵呵。
发现不等式变形后，可以配成(x-1/2)²，于是对其进行考察，最终得出a的取值范围，这样做比较简单。如果分类讨论，也可以，但会很麻烦，当然结果是一样的。