已知a>b>0,m,n∈N+.求证：a^(m+n)+b^(m+n)>a^mb^n+a^nb^m
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因为a＞0.b＞0.m＞0,n＞0
设a>b,则
所以，a^m>b^m,a^n>b^n
(a^m-b^m)>0,(a^n-b^n)>0
(a^m-b^m)(a^n-b^n)>0
设a<b,则
所以，a^m<b^m,a^n<b^n
(a^m-b^m)<0,(a^n-b^n)<0
(a^m-b^m)(a^n-b^n)>0
当a=b时
a^m=b^m,a^n=b^n
(a^m-b^m)(a^n-b^n)=0
所以
a^(m+n)+b^(m+n)-(a^mb^n+a^nb^m)≥0
a^(m+n)+b^(m+n)≥a^mb^n+a^nb^m
设a>b,则
所以，a^m>b^m,a^n>b^n
(a^m-b^m)>0,(a^n-b^n)>0
(a^m-b^m)(a^n-b^n)>0
设a<b,则
所以，a^m<b^m,a^n<b^n
(a^m-b^m)<0,(a^n-b^n)<0
(a^m-b^m)(a^n-b^n)>0
当a=b时
a^m=b^m,a^n=b^n
(a^m-b^m)(a^n-b^n)=0
所以
a^(m+n)+b^(m+n)-(a^mb^n+a^nb^m)≥0
a^(m+n)+b^(m+n)≥a^mb^n+a^nb^m
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