Question

一道数学二次函数压轴题

已知点A是抛物线上y=1/2x平方-3x+c的点，点A的横坐标为-2，点C为抛物线与y轴的交点，点A、C的纵坐标互为相反数。
（1）求次抛物线的解析式：（自己求出来了）y=1/2x平方-3x-4
（2）直线l与抛物线相较于点A、B，若以线段AB为直径的圆经过远点，求点B的坐标
（3）在（2）的条件下，位于第四象限的抛物线图像上是否存在一点D，使得以点A、B、C、D为定点的四边形面积最大，若存在求出点D的坐标；若不存在请说明理由。

Answer 1

1）由由题意可知C（0，c),A(-2,-c)，
把（-2，-c)代入y=1/2x平方-3x+c得
2+6+c=-c
解得c=-4
即y=1/2x²-3x-4
2)由题意可知OA⊥OB
∵A(-2,4),，可设B(2a,a)代入y=1/2x²-3x-4得 （垂直两直线的斜率乘积=-1）
2a²-6a-4=a
解得a=4或-1/2
即B(8,4)或（-1，-1/2)
3)可知要使以点A、B、C、D为定点的四边形面积最大。B坐标应为（8,4）
∵A(-2,4),B(8,4),C(0,-4)
∴AB=10,,,AB‖X轴
S△ABC=1/2*10*8=40一定，
即S△BCD最大时，S四边形ABDC最大，
可求得BC直线解析式为y=x-4，
把BC直线向下平移到与抛物线只有一个交点时，这个交点到BC直线距离最大
此点就是所求点。可设平移后直线为y=x+b
即1/2x²-3x-4=x+b必须有两相等实根，可得b=-12
代入可求得x=4,y=-8
即符合条件的D点坐标为（4,-8）

Answer 2

( 2)设B(a,b)过点A、B分别作X轴、Y轴的垂线，垂足为M、N。因为AB是圆的直径，
所以∠AOB=90°,所以 因B(a,b)在抛物线 ，所以 。解得 , 即 ,所以a=2b.因B(a,b)在抛物线 ，所以 。
解得 所以B（8，4）或（-1，-二分之一 ）
(有的解答做好了无法粘过来)

Answer 3

(3)由题意得B(8,4)时,四边形ABCD的面积最大.设D(x,y)求得直线BC的解析式为y=x-4.
过点D作X轴的垂线,交直线BC于G.因为A、B、C为定点所以当三角形BCD面积最大时，四边形ABCD的面积就最大。三角形BCD的面积等于三角形DCG 的面积+三角形VDG，所以